Matemática Financiera: Gradiente - Repartición de Herencia. Problema 2.8 - Evaluación Económica de Inversiones. Rodrigo Varela

Hola a todos, continuando con el desarrollo de los problemas del libro: Evaluación Económica de Inversiones. Hoy vamos a trabajar el problema 2.8 que consiste en una inversión con un retorno del tipo gradiente:

2.8 La herencia del señor Rico asciende a $1.000.000, depositados en un fondo que produce el 18% anual. El señor Rico dispone en su testamento que el primer año se entreguen a sus herederos $200.000, el segundo año $210.000, el tercero $220.000, etc. ¿Durante cuántos años se pueden hacer los pagos? (La respuesta puede ser decimal).¿Cuántos años habría durado si el esquema hubiese sido $250.000, $240.000, $230.000, etc.¿Cuánto si hubiesen sido pagos uniformes de $220.000? ¿Cuánto si hubiesen sido pagos uniformes de $180.000? Discuta los resultados.

Este problema es diferente a una anualidad uniforme, dado que el valor del pago mensual se incrementa de forma constante frente al pago del periodo anterior. En este problema, el factor por el que se incrementa es $10.000.

Para resolver el problema, vamos a dar una solución por un método intuitivo con el objetivo de dar respuesta al primer y segundo interrogante. Para esto, vamos a modelar 11 pagos y les vamos a calcular el valor presente:

Como se ve en la imagen, en la columna E tenemos el cálculo del valor presente neto de los pagos que se realizan según van pasando los años. Por ejemplo, en el tercer año se completarán 3 pagos, en el año 1: $200.000, año 2: $210.000 y año 3: $220.000. 

Estos tres pagos que suman $630.000 (dejando de lado el concepto del valor del dinero en el tiempo), cuando se descuentan a una tasa del 18% anula, equivalen a $454.209 (columna E) de hoy. Entonces, para dar respuesta a la pregunta realizada, debemos identificar en que año, el valor presente no es superior a $1.000.000:

Como pueden ver en la imagen, en el año 9 tenemos un valor presente igual o inferior a un millón. 

Esto quiere decir que la herencia, con las condiciones planteadas, nos alcanza para realizar pagos durante 9 años. No es suficiente para el pago del décimo año, ya que si lo realizamos, el valor presente de los 10 pagos es de $1.042.342 que es mayor a la herencia.

Sin embargo, la diferencia entre $1.000.000 y los $986.933, que es igual a $13.067, nos alcanza para pagar una fracción del desembolso a realizar en el año 10. Para averiguar cuál es esa fracción, vamos a ajustar nuestro modelo:

Tenemos que los $13.067, llevados 10 años hacia adelante equivalen a $68.390,01. Y que ese valor al dividirlo por el pago de $290.000 de dicho año nos da una fracción de 0,23 años. Si la sumamos con los 9 años que ya teníamos, tenemos que la herencia alcanza para realizar pagos durante 9,23 años.

Para resolver el siguiente interrogante del problema, ajustamos nuestro modelo así:

La respuesta es: 10,82 años.

Con pagos uniformes de $220.000, ajustamos el modelo y resolvemos con Solver:

Tenemos:

La respuesta es 10,30 años.

¿Y qué pasa cuando la cuota es de $180.000? La respuesta es que los pagos son infinitos. ¿Cuánto es el 18% de $1.000.000? $180.000. Eso quiere decir que realizando pagos de $180.000 nunca se va a consumir el capital, siempre se va a descontar solo el interés, por lo que podemos decir que la herencia duraría para siempre.

Hasta la próxima.